Tipos de Indeterminaciones

tipos de Indeterminaciones

En los ejemplos anteriores, obteníamos expresiones que tenían sentido en R. Se tenían límites determinados. Si obtuviéramos alguna expresión que no tiene sentido en R, puede ser que el límite fuera 0 o ∞, o bien una indeterminación:

Indeterminación ∞/∞

Empecemos ahora resolviendo cada una de las indeterminaciones anteriores. Comenzamos por las indeterminaciones tipo cociente, y entre ellas, por ∞/∞. Cuando estas indeterminaciones vienen de un límite en el infinito de un cociente de polinomios, dividiremos todos los términos del límite por la potencia de mayor grado:

Indeterminación tipo cociente

Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la indeterminación es ∞/∞, debemos tener en cuenta que el grado del radicando se divide entre dos y que el exponente de x se multiplica por dos al entrar a la raíz:

Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la indeterminación es 0/0, lo que haremos será multiplicar numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical:

Indeterminación 0·∞

En estos casos, intentaremos reducir la indeterminación a una del tipo cociente observando que:

En la mayor parte de las situaciones, basta con operar para reducir la indeterminación a una del tipo cociente:

Indeterminación tipo potencia

Casi todas las indeterminaciones tipo potencia se pueden reducir a la indeterminación 1^∞. Para resolverlas necesitaremos conocer un teorema:

Teorema: lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗=e

No damos la demostración del teorema, sino que simplemente observaremos el comportamiento de la sucesión para algunos valores de n:

Se observa que la sucesión es creciente y acotada. El valor del límite es el número e=2,7182818…

Como consecuencia del teorema anterior, se tiene otro similar:Teorema: Si lim┬(x→a)⁡f(x)=∞ entonces lim┬(x→a)⁡〖(1+1/f(x) )^f(x) 〗=e De este modo, para resolver una indeterminación tipo potencia, el objetivo es convertir la expresión inicial en una del tipo de este teorema: